একটি অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট হল এক ধরনের ফ্র্যাক্টাল ইমেজ যা একটি বড় বৃত্তের মধ্যে থাকা চির সঙ্কুচিত বৃত্তের সংগ্রহ থেকে গঠিত হয়। অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেটের প্রতিটি বৃত্ত সংলগ্ন চেনাশোনাগুলির স্পর্শক - অন্য কথায়, অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেটের বৃত্তগুলি অসীম ছোট পয়েন্টে যোগাযোগ করে। পেরগার গ্রিক গণিতবিদ অ্যাপোলোনিয়াসের জন্য নামকরণ করা হয়েছে, এই ধরণের ফ্র্যাক্টাল যুক্তিসঙ্গত জটিলতার দিকে (হাতে বা কম্পিউটারে) আঁকা যায়, একটি সুন্দর, আকর্ষণীয় চিত্র তৈরি করে। শুরু করতে নীচের ধাপ 1 দেখুন।
ধাপ
2 এর অংশ 1: মূল ধারণাগুলি বোঝুন
পুরোপুরি পরিষ্কার হওয়ার জন্য, যদি আপনি কেবল অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট আঁকতে আগ্রহী হন, তাহলে ফ্র্যাক্টালের পিছনে গণিতের নীতিগুলি গবেষণা করা অপরিহার্য নয়। যাইহোক, যদি আপনি অ্যাপোলোনিয়ান গাস্কেটগুলির গভীর বোঝার ইচ্ছা করেন, তবে তাদের সাথে আলোচনা করার সময় আমরা ব্যবহার করব এমন বেশ কয়েকটি ধারণার সংজ্ঞা বোঝা গুরুত্বপূর্ণ।
ধাপ 1. কী পদগুলি সংজ্ঞায়িত করুন।
নিচের নির্দেশাবলীতে নিচের পদগুলি ব্যবহার করা হয়েছে:
- অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট: একটি বড় বৃত্তের ভিতরে বাস করা একটি সার্কেল এবং আশেপাশের অন্য সকলের জন্য স্পর্শকাতর এক ধরণের ফ্র্যাক্টালের একাধিক নামগুলির মধ্যে একটি। এগুলিকে "সোডি সার্কেল" বা "কিসিং সার্কেল "ও বলা হয়।
- বৃত্তের ব্যাসার্ধ: বৃত্তের কেন্দ্র বিন্দু থেকে তার প্রান্তের দূরত্ব। সাধারণত ভেরিয়েবল r বরাদ্দ করা হয়।
- একটি বৃত্তের বক্রতা: ব্যাসার্ধের ধনাত্মক বা negativeণাত্মক বিপরীত, অথবা ± 1/r। বৃত্তের বাইরের বক্রতার সাথে কাজ করার সময় বক্রতা ইতিবাচক এবং ভিতরের বক্রতার জন্য নেতিবাচক।
- স্পর্শক: একটি অসীম ছোট বিন্দুতে ছেদ করা রেখা, সমতল এবং আকারের ক্ষেত্রে একটি শব্দ প্রযোজ্য। অ্যাপোলোনিয়ান গাস্কেটে, এটি এই সত্যকে নির্দেশ করে যে প্রতিটি বৃত্ত প্রতিটি নিকটবর্তী বৃত্তকে শুধুমাত্র একটি বিন্দুতে স্পর্শ করে। লক্ষ্য করুন যে কোন ছেদ নেই - স্পর্শকাতর আকারগুলি ওভারল্যাপ হয় না।
ধাপ 2. ডেসকার্টেসের উপপাদ্য বুঝুন।
ডেসকার্টেসের উপপাদ্য হল একটি সূত্র যা একটি অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেটে বৃত্তের আকার গণনার জন্য উপযোগী। যদি আমরা যথাক্রমে কোন তিনটি বৃত্তের বক্রতা (1/r) সংজ্ঞায়িত করি, যথাক্রমে a, b, এবং c হিসাবে, উপপাদ্য বলে যে বৃত্তের বক্রতা (বা বৃত্ত) তিনটিকেই স্পর্শ করে, যা আমরা d হিসাবে সংজ্ঞায়িত করব, তা হল: d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)).
আমাদের উদ্দেশ্যে, আমরা সাধারণত বর্গমূলের সামনে একটি প্লাস চিহ্ন রেখে আমরা যে উত্তরটি পাই তা ব্যবহার করব (অন্য কথায়,… + 2 (sqrt (…))। সমীকরণের ফর্মটির অন্যান্য সম্পর্কিত কাজে এর ব্যবহার রয়েছে।
2 এর অংশ 2: অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট নির্মাণ
Apollonian Gaskets সঙ্কুচিত বৃত্তের সুন্দর ফ্র্যাক্টাল বিন্যাসে রূপ নেয়। গাণিতিকভাবে, অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেটের অসীম জটিলতা রয়েছে, কিন্তু, আপনি কম্পিউটার ড্রয়িং প্রোগ্রাম বা traditionalতিহ্যবাহী ড্রইং টুলস ব্যবহার করছেন কিনা, আপনি শেষ পর্যন্ত এমন একটি বিন্দুতে পৌঁছবেন যেখানে ছোট বৃত্ত আঁকা অসম্ভব। মনে রাখবেন যে আপনি যত স্পষ্টভাবে আপনার চেনাশোনাগুলি আঁকবেন, ততই আপনি আপনার গ্যাসকেটে ফিট করতে পারবেন।
ধাপ 1. আপনার ডিজিটাল বা এনালগ অঙ্কন সরঞ্জাম সংগ্রহ করুন।
নিচের ধাপে, আমরা আমাদের নিজস্ব সহজ অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট তৈরি করব। হাত দিয়ে বা কম্পিউটারে অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট আঁকা সম্ভব। উভয় ক্ষেত্রে, আপনি পুরোপুরি বৃত্তাকার বৃত্ত আঁকতে সক্ষম হতে চাইবেন। এটি মোটামুটি গুরুত্বপূর্ণ। যেহেতু একটি অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেটের প্রতিটি বৃত্তটি তার পাশের চেনাশোনাগুলির সাথে পুরোপুরি স্পর্শকাতর, তাই সামান্য চূর্ণবিচূর্ণ বৃত্তগুলি আপনার চূড়ান্ত পণ্যটিকে "ফেলে দিতে" পারে।
- যদি কম্পিউটারে গ্যাসকেট আঁকা হয়, তাহলে আপনার এমন একটি প্রোগ্রামের প্রয়োজন হবে যা আপনাকে একটি কেন্দ্রীয় পয়েন্ট থেকে সহজেই একটি নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধের বৃত্ত আঁকতে দেয়। জিআইএমপি, ফ্রি ইমেজ এডিটিং প্রোগ্রাম জিআইএমপি-র জন্য একটি ভেক্টর-ড্রয়িং এক্সটেনশন ব্যবহার করা যেতে পারে, যেমন অন্যান্য ড্রয়িং প্রোগ্রামের বিস্তৃত (প্রাসঙ্গিক লিঙ্কগুলির জন্য উপকরণ বিভাগ দেখুন)। আপনি সম্ভবত একটি ক্যালকুলেটর অ্যাপ্লিকেশন এবং একটি শব্দ প্রসেসর ডকুমেন্ট বা বক্রতা এবং radii নোট নেওয়ার জন্য একটি শারীরিক নোটপ্যাড প্রয়োজন হবে।
- হাতে গ্যাসকেট আঁকার জন্য, আপনার একটি ক্যালকুলেটর (বৈজ্ঞানিক বা গ্রাফিং প্রস্তাবিত), একটি পেন্সিল, কম্পাস, শাসক (বিশেষত মিলিমিটার চিহ্ন সহ একটি স্কেল, গ্রাফ পেপার এবং নোট নেওয়ার জন্য একটি নোটপ্যাড প্রয়োজন হবে।
পদক্ষেপ 2. একটি বড় বৃত্ত দিয়ে শুরু করুন।
আপনার প্রথম কাজটি সহজ - শুধু একটি বড়, পুরোপুরি গোলাকার বৃত্ত আঁকুন। বৃত্তটি যত বড়, আপনার গ্যাসকেট তত জটিল হতে পারে, তাই আপনার কাগজ যতটা বড় বা আপনার অঙ্কন প্রোগ্রামের একটি উইন্ডোতে আপনি সহজেই দেখতে পারেন তত বড় বৃত্ত তৈরি করার চেষ্টা করুন।
ধাপ the. মূলের ভিতরে একটি ছোট বৃত্ত তৈরি করুন, একপাশে স্পর্শক।
এরপরে, প্রথমটির ভিতরে আরেকটি বৃত্ত আঁকুন যা মূলের চেয়ে ছোট, কিন্তু এখনও মোটামুটি বড়। দ্বিতীয় বৃত্তের সঠিক আকার আপনার উপর নির্ভর করে - কোন সঠিক আকার নেই। যাইহোক, আমাদের উদ্দেশ্যে, আসুন আমাদের দ্বিতীয় বৃত্তটি আঁকা যাক যাতে এটি আমাদের বড় বাইরের বৃত্তের ঠিক অর্ধেক পথ পর্যন্ত পৌঁছায়। অন্য কথায়, আমাদের দ্বিতীয় বৃত্তটি আঁকুন যাতে এর কেন্দ্রীয় বিন্দু বড় বৃত্তের ব্যাসার্ধের মধ্যবিন্দু।
মনে রাখবেন অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেটে, স্পর্শ করা সমস্ত বৃত্ত একে অপরের সাথে স্পর্শকাতর। যদি আপনি হাত দিয়ে আপনার বৃত্ত আঁকতে একটি কম্পাস ব্যবহার করেন, বড় বাইরের বৃত্তের ব্যাসার্ধের মধ্যবিন্দুতে কম্পাসের তীক্ষ্ণ বিন্দু স্থাপন করে এই প্রভাবটি পুনরায় তৈরি করুন, আপনার পেন্সিল সামঞ্জস্য করুন যাতে এটি বড় বৃত্তের প্রান্তকে স্পর্শ করে, তারপর আপনার ছোট ভেতরের বৃত্ত আঁকুন।
ধাপ 4. ভিতরের ছোট বৃত্ত "থেকে" জুড়ে একটি অভিন্ন বৃত্ত আঁকুন।
এরপরে, আমাদের প্রথম বৃত্ত থেকে আরেকটি বৃত্ত আঁকুন। এই বৃত্তটি বড় বাইরের বৃত্ত এবং ছোট অভ্যন্তরীণ বৃত্ত উভয়েরই স্পর্শকাতর হওয়া উচিত, যার অর্থ হল আপনার দুটি অভ্যন্তরীণ বৃত্ত বৃহৎ বাইরের বৃত্তের সঠিক মধ্যবিন্দুতে স্পর্শ করবে।
ধাপ 5. আপনার পরবর্তী বৃত্তের আকার খুঁজে পেতে ডেসকার্টেসের উপপাদ্য প্রয়োগ করুন।
এক মুহূর্তের জন্য ছবি আঁকা বন্ধ করা যাক। এখন আমাদের গ্যাসকেটে তিনটি বৃত্ত আছে, আমরা পরবর্তী বৃত্তের ব্যাসার্ধ খুঁজে পেতে ডেসকার্টসের উপপাদ্য ব্যবহার করতে পারি। মনে রাখবেন ডেসকার্টেসের উপপাদ্য d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a)), যেখানে a, b, এবং c হল আপনার তিনটি স্পর্শক বৃত্তের বক্রতা এবং d হল তিনটি বৃত্তের স্পর্শকের বক্রতা। সুতরাং, আমাদের পরবর্তী বৃত্তের ব্যাসার্ধ খুঁজে বের করতে, আমাদের এখন পর্যন্ত থাকা প্রতিটি বৃত্তের বক্রতা খুঁজে বের করতে হবে যাতে আমরা পরবর্তী বৃত্তের বক্রতা খুঁজে পেতে পারি, তারপর এটিকে তার ব্যাসার্ধে রূপান্তর করি।
-
আসুন আমাদের বাইরের বৃত্তের ব্যাসার্ধকে সংজ্ঞায়িত করি
ধাপ 1.। যেহেতু অন্যান্য বৃত্তগুলি এর ভিতরে রয়েছে, আমরা এর অভ্যন্তরীণ বক্রতা (তার বাহ্যিক বক্রতার পরিবর্তে) নিয়ে কাজ করছি এবং ফলস্বরূপ, আমরা জানি যে এর বক্রতা নেতিবাচক। -1/আর = -1/1 = -1। বড় বৃত্তের বক্রতা হল - 1.
-
ছোট বৃত্তের ব্যাসার্ধ বড় বৃত্তের অর্ধেক বড়, অথবা, অন্য কথায়, 1/2। যেহেতু এই বৃত্তগুলি একে অপরকে এবং বড় বৃত্তকে তাদের বাইরের প্রান্ত দিয়ে স্পর্শ করছে, তাই আমরা তাদের বাহ্যিক বক্রতা নিয়ে কাজ করছি, তাই তাদের বক্রতা ইতিবাচক। 1/(1/2) = 2. ছোট বৃত্তের বক্রতা উভয়ই
ধাপ ২..
-
এখন, আমরা জানি যে a = -1, b = 2, এবং c = 2 আমাদের Descartes এর উপপাদ্য সমীকরণের জন্য। D এর জন্য সমাধান করা যাক:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
- d = -1 + 2 + 2 ± 2 (sqrt (-2 + 4 + -2))
- d = -1 + 2 + 2 ± 0
- d = -1 + 2 + 2
-
d = 3. আমাদের পরবর্তী বৃত্তের বক্রতা হল
ধাপ 3.। যেহেতু 3 = 1/r, আমাদের পরবর্তী বৃত্তের ব্যাসার্ধ 1/3.
ধাপ 6. আপনার পরবর্তী বৃত্তের সেট তৈরি করুন।
আপনার পরবর্তী দুটি বৃত্ত আঁকতে আপনি যে ব্যাসার্ধ মানটি পেয়েছেন তা ব্যবহার করুন। মনে রাখবেন যে এগুলি সেই চেনাশোনাগুলির জন্য স্পর্শকাতর হবে যাদের কার্ভাচারগুলি আপনি ডেসকার্টসের উপপাদ্যে a, b এবং c- এর জন্য ব্যবহার করেছেন। অন্য কথায়, তারা মূল এবং দ্বিতীয় বৃত্ত উভয়ই স্পর্শকাতর হবে। এই চেনাশোনাগুলি তিনটি তিনটি বৃত্তের জন্য স্পর্শকাতর হওয়ার জন্য, আপনাকে এগুলি আপনার বড় মূল বৃত্তের অভ্যন্তরে উপরের এবং নীচে খোলা জায়গায় আঁকতে হবে।
মনে রাখবেন যে এই বৃত্তগুলির ব্যাসার্ধ 1/3 এর সমান হবে। বাইরের বৃত্তের প্রান্ত থেকে 1/3 পিছনে পরিমাপ করুন, তারপরে আপনার নতুন বৃত্তটি আঁকুন। এটি আশেপাশের তিনটি বৃত্তের জন্য স্পর্শকাতর হওয়া উচিত।
ধাপ 7. চেনাশোনা যোগ করা অব্যাহত রাখার জন্য এই পদ্ধতিতে চালিয়ে যান।
কারণ এগুলি ফ্র্যাক্টাল, অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেটগুলি অসীম জটিল। এর মানে হল আপনি আপনার হৃদয়ের সামগ্রীতে ছোট এবং ছোট বৃত্ত যুক্ত করতে পারেন। আপনি কেবলমাত্র আপনার সরঞ্জামগুলির নির্ভুলতা সীমাবদ্ধ (অথবা, যদি আপনি একটি কম্পিউটার ব্যবহার করছেন, আপনার অঙ্কন প্রোগ্রামের "জুম ইন" করার ক্ষমতা)। প্রতিটি বৃত্ত, যতই ছোট হোক না কেন, অন্য তিনটি বৃত্তের সাথে স্পর্শকাতর হওয়া উচিত। আপনার গ্যাসকেটে প্রতিটি পরবর্তী বৃত্ত আঁকতে, তিনটি বৃত্তের বক্রতাগুলিকে প্লাগ করুন যা ডেসকার্টসের উপপাদ্যে স্পর্শ করবে। তারপরে, আপনার উত্তরটি ব্যবহার করুন (যা আপনার নতুন বৃত্তের ব্যাসার্ধ হবে) আপনার নতুন বৃত্তটি সঠিকভাবে আঁকতে।
- মনে রাখবেন যে আমরা যে গ্যাসকেটটি আঁকতে বেছে নিয়েছি তা হল প্রতিসম, তাই একটি বৃত্তের ব্যাসার্ধ "এটি থেকে" জুড়ে সংশ্লিষ্ট বৃত্তের সমান। যাইহোক, জেনে রাখুন যে প্রতিটি অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট প্রতিসম নয়।
-
আরো একটি উদাহরণ মোকাবেলা করা যাক। ধরা যাক যে, আমাদের শেষ চেনাশোনাগুলি আঁকার পর, আমরা এখন আমাদের তৃতীয় সেট, আমাদের দ্বিতীয় সেট এবং আমাদের বৃহত বাইরের বৃত্তের স্পর্শক বৃত্ত আঁকতে চাই। এই বৃত্তগুলির বক্রতা যথাক্রমে 3, 2 এবং -1। আসুন এই সংখ্যাগুলিকে ডেসকার্টেসের উপপাদ্যে প্লাগ করি, a = -1, b = 2, এবং c = 3 সেট করি:
- d = a + b + c ± 2 (sqrt (a × b + b × c + c × a))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (-2 + 6 + -3))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2 (sqrt (1))
- d = -1 + 2 + 3 ± 2
-
d = 2, 6. আমাদের দুটি উত্তর আছে! যাইহোক, কারণ আমরা জানি যে আমাদের নতুন বৃত্তটি যে কোন চেনাশোনাগুলির তুলনায় ছোট হবে, শুধুমাত্র তার একটি বক্রতা
ধাপ 6। (এবং সেইজন্য একটি ব্যাসার্ধ 1/6) বোধগম্য।
- আমাদের অন্য উত্তর, 2, আসলে আমাদের দ্বিতীয় এবং তৃতীয় বৃত্তের স্পর্শক বিন্দুর অন্য দিকে অনুমানমূলক বৃত্তকে নির্দেশ করে। এই বৃত্ত হয় এই উভয় চেনাশোনা এবং বড় বাইরের বৃত্তের স্পর্শক, কিন্তু এটি আমাদের ইতিমধ্যে আঁকা বৃত্তগুলিকে ছেদ করবে, তাই আমরা এটি উপেক্ষা করতে পারি।
ধাপ 8. একটি চ্যালেঞ্জের জন্য, আপনার দ্বিতীয় বৃত্তের আকার পরিবর্তন করে একটি অ-প্রতিসম অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট তৈরির চেষ্টা করুন।
সমস্ত অ্যাপোলোনিয়ান গ্যাসকেট একইভাবে শুরু হয় - একটি বড় বাহ্যিক বৃত্ত যা ভগ্নাংশের প্রান্ত হিসাবে কাজ করে। যাইহোক, কোন কারণ নেই যে আপনার দ্বিতীয় বৃত্তটি অগত্যা প্রথমটির 1/2 ব্যাসার্ধ থাকতে হবে - আমরা শুধু উপরে এটি করতে বেছে নিয়েছি কারণ এটি সহজ এবং বোঝা সহজ। মজা করার জন্য, একটি ভিন্ন আকারের দ্বিতীয় বৃত্তের সাথে একটি নতুন গ্যাসকেট শুরু করার চেষ্টা করুন - এটি অনুসন্ধানের উত্তেজনাপূর্ণ নতুন পথের দিকে পরিচালিত করবে।
