কিভাবে একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন গ্রাফ করবেন: 8 টি ধাপ (ছবি সহ)

2024 লেখক: Robert Blare | [email protected]. সর্বশেষ পরিবর্তিত: 2023-12-17 07:30

একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশন হল একটি সমীকরণ যা y = N (x)/D (x) রূপ নেয় যেখানে N এবং D বহুপদী। হাতে হাতে একটি সঠিক গ্রাফ স্কেচ করার প্রচেষ্টা মৌলিক বীজগণিত থেকে ডিফারেনশিয়াল ক্যালকুলাস পর্যন্ত উচ্চ বিদ্যালয়ের গণিতের অনেক গুরুত্বপূর্ণ বিষয়ের একটি বিস্তৃত পর্যালোচনা হতে পারে। নিম্নলিখিত উদাহরণটি বিবেচনা করুন: y = (2 x ² - 6 x + 5)/(4 x + 2)।

ধাপ

ধাপ 1. ওয়াই ইন্টারসেপ্ট খুঁজুন।

শুধু x = 0. সেট করুন কিন্তু ধ্রুবক পদগুলি অদৃশ্য হয়ে যায়, y = 5/2 রেখে। একটি সমন্বয় জোড়া হিসাবে এটি প্রকাশ করা, (0, 5/2) গ্রাফের একটি বিন্দু। যে বিন্দু গ্রাফ।

ধাপ 2. অনুভূমিক অ্যাসিম্পটোট খুঁজুন।

X এর বৃহত্তর পরম মানের জন্য y- এর আচরণ নির্ণয় করতে হরকে দীর্ঘ অঙ্কে ভাগ করুন। এই উদাহরণে, বিভাগ দেখায় যে y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4)। X এর বড় ধনাত্মক বা negativeণাত্মক মানগুলির জন্য, 17/(8 x + 4) শূন্যের কাছাকাছি, এবং গ্রাফ y = (1/2) x - (7/4) রেখাকে আনুমানিক করে। একটি ড্যাশ বা হালকা টানা লাইন ব্যবহার করে, এই লাইনটি গ্রাফ করুন।

যদি অঙ্কের ডিগ্রী হরের ডিগ্রির চেয়ে কম হয়, সেখানে কোন বিভাজন নেই এবং অ্যাসিম্পটোট হল y = 0।
যদি ডিগ্রি (এন) = ডিগ্রি (ডি), অ্যাসিম্পটোট হল নেতৃস্থানীয় সহগের অনুপাতের একটি অনুভূমিক রেখা।
যদি ডিগ্রি (এন) = ডিগ্রি (ডি) + 1, অ্যাসিম্পটোট হল একটি রেখা যার opeাল হচ্ছে প্রধান কো -অপিশিয়েন্টের অনুপাত।
যদি deg (N)> deg (D) + 1 হয়, তাহলে | এর বড় মানের জন্য এক্স | এই ক্ষেত্রে, বিভাগের ভাগফলকে সঠিকভাবে গ্রাফ করা সম্ভবত উপযুক্ত নয়।

ধাপ 3. শূন্য খুঁজুন

একটি যুক্তিসঙ্গত ফাংশনের একটি শূন্য থাকে যখন এর অংক শূন্য হয়, তাই N (x) = 0. সেট করুন উদাহরণস্বরূপ, 2 x ² - 6 x + 5 = 0. এই চতুর্ভুজের বৈষম্য খ ² - 4 ac = 6² - 4*2*5 = 36 - 40 = -4। যেহেতু বৈষম্যমূলক negativeণাত্মক, N (x), এবং ফলস্বরূপ f (x) এর কোন প্রকৃত শিকড় নেই। গ্রাফ কখনই x -axis অতিক্রম করে না। যদি কোন শূন্য পাওয়া যায়, গ্রাফে সেই পয়েন্ট যোগ করুন।

ধাপ 4. উল্লম্ব অ্যাসিম্পোটোটস খুঁজুন।

একটি উল্লম্ব উপসর্গ দেখা যায় যখন হর শূন্য হয়। 4 x + 2 = 0 সেট করলে উল্লম্ব রেখা x = -1/2 পাওয়া যায়। প্রতিটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পোটোটকে হালকা বা ড্যাশযুক্ত রেখা দিয়ে আঁকুন। যদি x এর কিছু মান N (x) = 0 এবং D (x) = 0 উভয়ই করে, সেখানে একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট থাকতে পারে বা নাও থাকতে পারে। এটি বিরল, তবে যদি এটি ঘটে তবে কীভাবে এটি মোকাবেলা করবেন তার টিপস দেখুন।

ধাপ 5. ধাপ 2 এ বিভক্তির বাকি অংশ দেখুন।

কখন এটি ইতিবাচক, নেতিবাচক, বা শূন্য? উদাহরণস্বরূপ, অবশিষ্ট অংশটি 17 যা সর্বদা ধনাত্মক। হর, 4 x + 2, উল্লম্ব উপসর্গের ডানদিকে ধনাত্মক এবং বাম দিকে নেতিবাচক। এর মানে হল যে গ্রাফ উপরের থেকে x এর বড় ধনাত্মক মানের জন্য এবং নীচের থেকে x এর বড় নেতিবাচক মানগুলির জন্য রৈখিক অ্যাসিম্পোটোটের দিকে এগিয়ে যায়। যেহেতু 17/(8 x + 4) কখনই শূন্য হতে পারে না, তাই এই গ্রাফটি কখনও y = (1/2) x - (7/4) লাইনকে ছেদ করে না। এই মুহূর্তে গ্রাফে কিছু যোগ করবেন না, কিন্তু এই সিদ্ধান্তগুলি পরবর্তীতে লক্ষ্য করুন।

পদক্ষেপ 6. স্থানীয় চরম সন্ধান করুন।

স্থানীয় চরমপন্থা দেখা দিতে পারে যখনই N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0. উদাহরণস্বরূপ, N '(x) = 4 x - 6 এবং D' (x) = 4 । N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = (4 x - 6) (4 x + 2) - (2 x ² - 6 x + 5)*4 = 0. প্রসারিত করা, পদগুলিকে একত্রিত করা এবং 4 পাতা x দিয়ে ভাগ করা ² + x - 4 = 0. চতুর্ভুজ সূত্র x = 3/2 এবং x = -5/2 এর কাছাকাছি শিকড় দেখায়। (এগুলি সঠিক মান থেকে প্রায় 0.06 দ্বারা পৃথক, কিন্তু আমাদের গ্রাফটি সেই স্তরের বিশদ সম্পর্কে চিন্তা করার জন্য যথেষ্ট সুনির্দিষ্ট হতে যাচ্ছে না। একটি উপযুক্ত যুক্তিসঙ্গত আনুমানিকতা নির্বাচন করা পরবর্তী পদক্ষেপকে সহজ করে তোলে।)

ধাপ 7. প্রতিটি স্থানীয় প্রান্তের y- মান খুঁজুন।

পূর্ববর্তী ধাপ থেকে x -values প্লাগ করে মূল যুক্তিসঙ্গত ফাংশনে সংশ্লিষ্ট y -values খুঁজে বের করুন। উদাহরণে, f (3/2) = 1/16 এবং f (-5/2) = -65/16। এই পয়েন্টগুলি যোগ করুন, (3/2, 1/16) এবং (-5/2, -65/16), গ্রাফে। যেহেতু আমরা পূর্ববর্তী ধাপে অনুমান করেছি, এগুলি সঠিক মিনিমা এবং ম্যাক্সিমা নয়, তবে সম্ভবত কাছাকাছি। (আমরা জানি (3/2, 1/16) স্থানীয় নূন্যতমের খুব কাছাকাছি। ধাপ 3 থেকে, আমরা জানি যে y সবসময় ধনাত্মক হয় যখন x> -1/2 এবং আমরা 1/16 এর মতো ছোট মান পেয়েছি, তাই অন্তত এই ক্ষেত্রে, ত্রুটি সম্ভবত লাইনের বেধের চেয়ে কম।)

ধাপ Connect. বিন্দুগুলিকে সংযুক্ত করুন এবং সহজেই গ্রাফটি পরিচিত পয়েন্ট থেকে অ্যাসিম্পোটোটের দিকে প্রসারিত করুন যাতে সঠিক দিক থেকে তাদের কাছে যেতে পারে।

সতর্কতা অবলম্বন করুন x -axis অতিক্রম না করার জন্য। আগের ধাপে পাওয়া চরম।

ভিডিও - এই পরিষেবাটি ব্যবহার করে, কিছু তথ্য ইউটিউবের সাথে শেয়ার করা যেতে পারে।

পরামর্শ

এই ধাপগুলির মধ্যে কিছু উচ্চ ডিগ্রী বহুপদী সমাধান করতে পারে। যদি আপনি ফ্যাক্টরাইজেশন, সূত্র বা অন্যান্য উপায়ে সঠিক সমাধান খুঁজে না পান, তাহলে নিউটনের পদ্ধতির মতো সংখ্যাসূচক কৌশল ব্যবহার করে সমাধানগুলি অনুমান করুন।
যদি আপনি ধাপগুলি অনুসরণ করেন তবে সাধারণত দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ পরীক্ষা বা অনুরূপ সম্ভাব্য জটিল পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করার প্রয়োজন হয় না যাতে নির্ধারণ করা যায় যে সমালোচনামূলক মানগুলি স্থানীয় ম্যাক্সিমা, স্থানীয় মিনিমা বা কোনটি নয়। আগের ধাপগুলি থেকে তথ্য এবং প্রথমে একটু যুক্তি ব্যবহার করার চেষ্টা করুন।
যদি আপনি শুধুমাত্র প্রিকালকুলাস পদ্ধতিতে এটি করার চেষ্টা করছেন, তাহলে আপনি প্রতিটি জোড়া অ্যাসিম্পোটোটসের মধ্যে বেশ কয়েকটি অতিরিক্ত (x, y) অর্ডার করা জোড়া গণনা করে স্থানীয় চরমতা খুঁজে বের করার ধাপগুলি প্রতিস্থাপন করতে পারেন। বিকল্পভাবে, যদি আপনি এটি কেন কাজ করেন তা বিবেচনা না করেন, তাহলে কোন কারণ নেই যে একটি প্রিলাকুলাস ছাত্র একটি বহুপদী এর ডেরিভেটিভ নিতে পারে না এবং N '(x) D (x) - N (x) D' (x) = 0।
বিরল ক্ষেত্রে, সংখ্যার এবং হরের একটি সাধারণ অ -স্থায়ী ফ্যাক্টর থাকতে পারে। আপনি যদি ধাপগুলো অনুসরণ করে থাকেন, তাহলে এটি একই স্থানে একটি শূন্য এবং একটি উল্লম্ব অ্যাসিম্পটোট হিসাবে প্রদর্শিত হবে। এটি অসম্ভব এবং আসলে যা ঘটে তা হল নিম্নলিখিতগুলির মধ্যে একটি:
- N (x) এর শূন্যের D (x) এর শূন্যের চেয়ে বহুগুণ বেশি। এই বিন্দুতে f (x) এর গ্রাফ শূন্যের কাছাকাছি, কিন্তু সেখানে অনির্ধারিত। বিন্দুর চারপাশে একটি খোলা বৃত্ত দিয়ে এটি নির্দেশ করুন।
- N (x) এর শূন্য এবং D (x) এর শূন্যের সমান গুণ আছে। গ্রাফ এক্স এর এই মানটির জন্য কিছু অ-শূন্য বিন্দুতে পৌঁছায়, কিন্তু সেখানে অনির্ধারিত। আবার একটি খোলা বৃত্ত দিয়ে এটি নির্দেশ করুন।
- N (x) -এর শূন্য D (x) -এর শূন্যের তুলনায় বহুগুণ কম। এখানে একটি উল্লম্ব উপসর্গ আছে।